大家热议的美国数学高考题 美国高考数学题(2)

但到绕着大圆滚这个问题里，首先得证明圆心走过2r的长度，小圆绕着圆心转了360这个结论。即如下图所示，小圆圆心走过2r的距离，恰好走过小圆圆心所在圆周长的1/4，为什么此时小圆正好绕着自己的圆心转了一圈？没有证明过程，直接拿平地的结论搬过来是不严谨的。

还有人说小圆上每个点走过的长度等于小圆圆心走的长度，所以如此。这个结论就不对了，后面再讲。
3. 质点法
质点法类似于圆心轨迹法。即把小圆看成一个质点，从而小圆的运动轨迹是一个半径为4r的圆，质点一共走了8r的长度，每走2r的长度绕圆心转一圈，所以转了4圈。这个方法首先得理解什么是质点，其次，与圆心轨迹法一样，也需要证明一个之前的那个小结论才行。
4. 相对运动法
小圆和大圆如果各自固定圆心，类似于齿轮一样同时转动，那么小圆顺时针转3圈，大圆逆时针转1圈，小圆相对于大圆转了4圈。现在大圆固定不动，小圆需要相对于大圆转4圈才行。这个解释是可以的，但相对运动对于大部分人 特别是孩子而言，还是太过于抽象了。
那么，有没有一种比较直观的解释呢？我下面给出的方法是纯粹从数学几何关系来解释的，学过角度和圆周长的小学高年级学生应该都能理解。
5. 纯几何方法
这个问题里有一点是确定的，即小圆的周长是大圆的1/3。小圆在大圆上滚过2r的长度即1/3大圆的周长，滚到了如下图所示的位置，此时小圆绕着自己的圆心转了360 120=480。小圆贴着大圆滚6r的长度正好滚回原点，此时转了4803=1440。1440360=4圈。